Pengertian Vektor
Dari ilustrasi diatas, dapat kita lihat bahwa: Mobil A dan mobil B bergerak dalam arah yang berlawanan (ditunjukkan oleh gambar anak panah) dengan kecepatan yang ditunjukkan pada gambar speedometernya.
Meskipun angka yang ditunjukkan pada speedometer mobil sama yaitu 90 km/jam. Maka dapat dikatakan bahwa kecepatan kedua mobil tersebut berbeda, namun kelajuan kedua mobilnya sama.
Jenis –
Jenis Vektor
Seperti anak panah
pada gambar diatas, pangkal anak panah tersebut menunjukkan sebuah titik
tangkap (titik awal) dari sebuah vektor, panjang anak panah tersebut mewakili
besar atau suatu nilai vektor (semakin panjang anak panah maka akan semakin
besar pula nilai atau harga vektor, begitu juga sebaliknya), sedangkan pada
arah anak panah akan menunjukkan arah vektor.
Untuk dapat lebih jelas tentang cara menggambarkan vektor, maka silahkan mari kita perhatikan contoh gambar vektor di bawah berikut ini:
2. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau juga satu huruf yang ditebalkan juga:
1. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau dengan satu huruf namun di atasnya diberikan tanda anak panah, yaitu:
1. Vektor Sejajar
2. Vektor Berlawanan
Sifat-Sifat Vektor
Perkalian Vektor
Besaran vektor atau sering diesbut Vektor adalah suatu besaran yang
memiliki atau mempunyai nilai (besar) dan arah. Besaran Vektor ini juga
merupakan suatu besaran fisika yang mempunyai besar dan arah.
Untuk dapat lebih mudah mengerti tentang maksud vektor di atas, mari kita lihat ilustrasi pada gambar dibawah berikut:
Untuk dapat lebih mudah mengerti tentang maksud vektor di atas, mari kita lihat ilustrasi pada gambar dibawah berikut:
Dari ilustrasi diatas, dapat kita lihat bahwa: Mobil A dan mobil B bergerak dalam arah yang berlawanan (ditunjukkan oleh gambar anak panah) dengan kecepatan yang ditunjukkan pada gambar speedometernya.
Meskipun angka yang ditunjukkan pada speedometer mobil sama yaitu 90 km/jam. Maka dapat dikatakan bahwa kecepatan kedua mobil tersebut berbeda, namun kelajuan kedua mobilnya sama.
Jenis –
Jenis Vektor
Operasi Vektor di R2 :
⇒ Penjumlahan dan
Pengurangan Vektor di R2 :
Dua vektor atau lebih
dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. Penjumlahan vektor
secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga
seletak. Jika
maka :
Cara Menggambarkan Vektor
Untuk dapat lebih jelas tentang cara menggambarkan vektor, maka silahkan mari kita perhatikan contoh gambar vektor di bawah berikut ini:
- (a) menunjukkan sebuah vektor gaya F dengan
sebesar 5 N ke arah kanan
Cara Menuliskan Notasi Vektor
Penulisan simbol atau lambang vektor tersebut juga bisa dilakukan dengan 2 cara antara lain sebagai berikut:2. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau juga satu huruf yang ditebalkan juga:
1. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau dengan satu huruf namun di atasnya diberikan tanda anak panah, yaitu:
Jika kita menggunakan dua buah huruf,
maka pada huruf pertama yang (A) adalah merupakan titik asal vektor, atau
disebut juga dengan sebutan pangkal vektor. Huruf di belakang (B) adalah arah
vektor atau titik terminal atau dapat disebut juga dengan sebutan ujung vektor.
Macam – Macam Vektor
1. Vektor Sejajar
2. Vektor Berlawanan
Sifat-Sifat Vektor
Besar Vektor
Penjumlahan Vektor
Operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen – komponennya itu ialah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya, sederhanya berarti mencari resultan dari 2 vektor
Operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen – komponennya itu ialah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya, sederhanya berarti mencari resultan dari 2 vektor
Pengurangan Vektor
Perkalian Vektor
Operasi vektor tidak hanya mencakup operasi pengurangan maupun
penjumlahan vektor saja. Tetapi adapula operasi perkalian vektor yang
notabennya diajarkan di jenjang sekolah menengah. Untuk jenis operasi perkalian
tersebut dapat dibagi menjadi tiga macam. Adapun macam macam perkalian vektor
tersebut meliputi:
1.
Perkalian vektor dengan skalar.
2.
Perkalian silang atau cross product.
3.
Perkalian titik atau dot product.
Ketiga
macam perkalian vektor tersebut mempunyai rumus, sifat dan aturannya masing
masing. Untuk itu saya akan menjelaskan lebih lanjut mengenai masing masing
jenis perkalian pada vektor tersebut. Berikut penjelasan selengkapnya:
Perkalian Vektor Dengan Skalar
Operasi vektor tidak hanya mencakup operasi pengurangan maupun penjumlahan vektor saja. Tetapi adapula operasi perkalian vektor yang notabennya diajarkan di jenjang sekolah menengah. Untuk jenis operasi perkalian tersebut dapat dibagi menjadi tiga macam. Adapun macam macam perkalian vektor tersebut meliputi:
Perkalian Vektor Dengan Skalar
Macam perkalian vektor yang pertama ialah perkalian antara
vektor dengan skalar. Perkalian ini mencakup perpindahan pada sebuah benda.
Misalnya Ani mengendarai mobil menuju arah barat dengan kecepatan 40 km/jam.
Kemudian terjadi perpindahan antara Ani dengan mobil setelah beberapa waktu.
Seperti yang sudah kita ketahui bahwa perpindahan per selang waktu adalah
kecepatan. Maka dari itu perpindahan yang terjadi pada Ani tersebut dapat
dicari menggunakan persamaan atau rumus seperti di bawah ini:
s = vt
Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)
Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis
besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu,
sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu
perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang
pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:
Perkalian
vektor dengan skalar menghasilkan vektor
Jika perkalian antara
vektor dengan skalar dinyatakan dalam bentuk sederhana dan sistematis akan
menghasilkan aturan atau rumus tertentu. Berikut rumus perkalian vektor dengan
skalarnya yaitu:
B = kA
Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)
Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis
besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu,
sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu
perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang
pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:
Perkalian
vektor dengan skalar menghasilkan vektor
Jika perkalian antara
vektor dengan skalar dinyatakan dalam bentuk sederhana dan sistematis akan
menghasilkan aturan atau rumus tertentu. Berikut rumus perkalian vektor dengan
skalarnya yaitu:
B = kA
Keterangan :
B = vektor B
k = skalar
A = vektor A
Rumus perkalian vektor di atas menghasilkan vektor
B yang merupakan perkalian antara besar k dengan besar A. Jika k bernilai
positif, maka vektor B memiliki arah yang sama dengan vektor A. Sedangkan jika
k bernilai negatif, maka arah vektor B berlawanan dengan vektor A.
Perkalian Vektor Satuan Dengan
Skalar
Rumus di atas juga berlaku untuk perkalian vektor
satuan dengan skalar, baik untuk tiga dimensi maupun dua dimensi. Jika
dijabarkan lebih lanjut maka rumus perkalian antara vektor satuan dengan skalar
akan menjadi seperti di bawah ini:
Rumus Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar
Sifat Perkalian Vektor Dengan Skalar
Sifat perkalian vektor dengan skalar ialah distributif. Jika dinyatakan dalam bentuk persamaan maka sifat distributifnya akan menjadi seperti berikut:
k (A + B) = kA + kB
Contoh Soal Perkalian Vektor Dengan Skalar
Perhatikan gambar vektor A di bawah ini!
Apabila B = 1/2A, B = -1/2A, B = 2A, B = -2A. Buatlah gambar vektor B nya?
Jawab.
Untuk gambar perkalian vektor B = 1/2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar B = 1/2 A
Untuk gambar perkalian vektor B = -1/2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar B = -1/2A
Untuk gambar perkalian vektor B = 2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar B = 2A
Untuk gambar perkalian vektor B = -2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar B = -2A
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)
Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu, sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:
Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)
Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu, sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:
B = vektor B
k = skalar
A = vektor A
Rumus perkalian vektor di atas menghasilkan vektor B yang merupakan perkalian antara besar k dengan besar A. Jika k bernilai positif, maka vektor B memiliki arah yang sama dengan vektor A. Sedangkan jika k bernilai negatif, maka arah vektor B berlawanan dengan vektor A.
Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar
Rumus di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar, baik untuk tiga dimensi maupun dua dimensi. Jika dijabarkan lebih lanjut maka rumus perkalian antara vektor satuan dengan skalar akan menjadi seperti di bawah ini:
Sifat perkalian vektor dengan skalar ialah distributif. Jika dinyatakan dalam bentuk persamaan maka sifat distributifnya akan menjadi seperti berikut:
Perhatikan gambar vektor A di bawah ini!
Jawab.
Untuk gambar perkalian vektor B = 1/2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Perkalian Titik atau Dot Product
Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian dot product atau titik. Untuk perkalian dot product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar Ilustrasi Perkalian Dot Product
Berdasarkan gambar di atas dapat kita peroleh vektor A sebagai hasil perkalian vektor dua buah titik diantara A dan B. Kemudian vektor B merupakan hasil perkalian antara komponen vektor B dengan vektor A yang arahnya sama. Adapula B cos α merupakan komponen dari vektor B yang arahnya sama dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian titik vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:
A . B = AB cos α = |A| |B| cos α
Keterangan:
A = |A| ialah besar vektor pada A
B = |B| ialah besar vektor pada B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰
Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang kedua yaitu perkalian titik ialah:
Perkalian vektor antara dua buah titik menghasilkan skalar.
Perkalian titik dilambangkan dengan tanda titik atau dot product (.). Macam perkalian vektor ini menghasilkan skalar. Untuk itu perkalian titik juga dapat dinamakan dengan perkalian scalar product. Dalam perkalian ini terdapat beberapa hal penting yang harus diperhatikan seperti:
- A . B = 0 → cos 90⁰ = 0, apabila vektor A tegak lurus dengan vektor B sehingga nilai α = 90⁰.
- A . B = AB → cos 0⁰ = 1, apabila vektor A searah dengan vektor B sehingga nilai α = 0⁰.
- A . B = -AB → cos 180⁰ = -1, apabila vektor A berlawanan arah dengan vektor B sehingga nilai α = 180⁰.
Perkalian Titik pada Vektor Satuan
Selanjutnya saya akan menjelaskan perkalian vektor tentang perkalian titik yang menggunakan vektor satuan. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar di bawah ini:
Ilustrasi Gambar Perkalian Titik Pada Vektor Satuan
Berdasarkan gambar perkalian vektor di atas dapat kita lihat bahwa terdapat tiga vektor yang saling tegak urus yaitu vektor dengan satuan i, j dan k. Maka dari itu nilai α memiliki besar 90⁰, dimana ketiga vektor memiliki nilai = 1. Kemudian perkalian titik yang menggunakan vektor satuan ini menghasilkan aturan seperti di bawah ini:
Berhimpit maka i . i = j . j = k . k = 1 . 1 cos 0⁰ = 1
Tegak lurus maka i . j = i . k = j . k = 1 . 1 cos 90⁰ = 0
Berdasarkan perkalian titik menggunakan vektor satuan di atas menghasilkan persamaan di atas. Persamaan tersebut dapat digunakan untuk menghitung perkalian vektor kategori perkalian titik. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Penjabaran Perkalian Titik pada Vektor Satuan
Sifat Perkalian Titik
Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian titik tersebut ialah distributif dan komutatif. Adapun sifat distributif dan komutatif pada perkalian titik ialah:
A (B + C) = A . B + A . C (Distributif)
A . B = B . A (Komutatif)
Contoh Soal Perkalian Titik
Vektor perpindahan memiliki persamaan yaitu s = (3i + 4j - 2k) dan persamaan vektor gayanya yaitu F = (i + 2j + 3k). Berapakah nilai usahanya?
Pembahasan
Diketahui : s = (3i + 4j - 2k); F = (i + 2j + 3k)
Ditanyakan : W = ?
Jawab :
W = F . s
= (i + 2j + 3k) . (3i + 4j - 2k)
= (1 . 3) + (2 . 4) + (3 . -2)
= 3 + 8 - 6
= 5 Joule
Jadi besar usahanya ialah 5 Joule.
A = |A| ialah besar vektor pada A
B = |B| ialah besar vektor pada B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰
Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang kedua yaitu perkalian titik ialah:
Tegak lurus maka i . j = i . k = j . k = 1 . 1 cos 90⁰ = 0
Sifat Perkalian Titik
Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian titik tersebut ialah distributif dan komutatif. Adapun sifat distributif dan komutatif pada perkalian titik ialah:
A . B = B . A (Komutatif)
Vektor perpindahan memiliki persamaan yaitu s = (3i + 4j - 2k) dan persamaan vektor gayanya yaitu F = (i + 2j + 3k). Berapakah nilai usahanya?
Pembahasan
Diketahui : s = (3i + 4j - 2k); F = (i + 2j + 3k)
Ditanyakan : W = ?
Jawab :
W = F . s
= (i + 2j + 3k) . (3i + 4j - 2k)
= (1 . 3) + (2 . 4) + (3 . -2)
= 3 + 8 - 6
= 5 Joule
Jadi besar usahanya ialah 5 Joule.
Perkalian Silang Vektor atau Cross Product
Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian cross product atau silang. Untuk perkalian cross product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:
Gambar Ilustrasi Perkalian Cross Product
Perkalian vektor antara vektor A dan B menggunakan metode silang dapat ditulis dengan A x B. Hal ini dapat menggambarkan antara vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B dimana letaknya tegak lurus dengan vektor A. Kemudian terdapat B sin α yang merupakan nilai tegak lurus antara komponen vektor B dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian silang vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:
A x B = C
|A x B| = AB sin α
Keterangan :
|A x B| = hasil besar vektor dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
C = besar vektor lain dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰
Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang ketiga yaitu perkalian silang ialah:
Perkalian vektor antara dua buah vektor menggunakan metode perkalian silang ialah suatu vektor pada bidang yang terbentuk oleh A dan B dengan arah yang tegak lurus.
Sifat Perkalian Silang
Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian silang tersebut ialah anti komutatif, asosiatif dan distributif. Adapun sifat anti komutatif, asosiatif dan distributif pada perkalian silang yaitu:
A × B ≠ B × A (Anti Komutatif)
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB) (Asosiatif)
A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (Distributif)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C) (Distributif)
|A x B| = AB sin α
|A x B| = hasil besar vektor dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
C = besar vektor lain dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰
Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang ketiga yaitu perkalian silang ialah:
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB) (Asosiatif)
A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (Distributif)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C) (Distributif)