Pengertian,Jenis dan Operasi Vektor

Pengertian Vektor

Besaran vektor atau sering diesbut Vektor adalah suatu besaran yang memiliki atau mempunyai nilai (besar) dan arah. Besaran Vektor ini juga merupakan suatu besaran fisika yang mempunyai besar dan arah.

Untuk dapat lebih mudah mengerti tentang maksud vektor di atas, mari kita lihat ilustrasi pada gambar dibawah berikut:

Dari ilustrasi diatas, dapat kita lihat bahwa: Mobil A dan mobil B bergerak dalam arah yang berlawanan (ditunjukkan oleh gambar anak panah) dengan kecepatan yang ditunjukkan pada gambar speedometernya.

Meskipun angka yang ditunjukkan pada speedometer mobil sama yaitu 90 km/jam. Maka dapat dikatakan bahwa kecepatan kedua mobil tersebut berbeda, namun kelajuan kedua mobilnya sama.

Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut :

• Vektor Posisi :

Adalah Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a₁, a₂).

• Vektor Nol :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikanVektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

• Vektor Satuan :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari =
adalah =

• Vektor Basis :

Adalah sebuah vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R2) memiliki dua vektor basis yaitu  = (1, 0) dan  = (0, 1).
Macam – Macam Beserta Operasi Vektor

Vektor juga memiliki beberapa macam – macam nya, yaitu sebagai berikut :

• Vektor di R² :

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor atau dinotasikan sebagai Panjang vektor yaitu sebagai :

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut   yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Operasi Vektor di  R² :

⇒ Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R² :

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika   maka :

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah berikut ini :

Dalam pengurangan vektor ini, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut ini :

Sifat – sifat dalam penjumlahan vektor adalah sebagai berikut :

⇒ Perkalian Vektor di R2 Dengan Skalar :

Suatu vektor juga dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika  adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan  :

Dengan Keterangan :

• Jika k > 0, maka vektor searah dengan vektor .
• Jika k < 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor .
• Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas .

Secara grafis perkalian ini juga dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah berikut ini :

Secara aljabar perkalian vektor  dengan skalar k juga dapat dirumuskan sebagai berikut ini :

⇒ Perkalian Skalar Dua Vektor di R2 :

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan juga dapat ditulis sebagai :

Cara Menggambarkan Vektor

Sebuah vektor itu dapat kita gambarkan dengan sebuah anak panah (→) yang terdiri atas pangkal, panjang dan arah anak panah. Perhatikan gambar contoh vektor dibawah berikut ini:

Seperti anak panah pada gambar diatas, pangkal anak panah tersebut menunjukkan sebuah titik tangkap (titik awal) dari sebuah vektor, panjang anak panah tersebut mewakili besar atau suatu nilai vektor (semakin panjang anak panah maka akan semakin besar pula nilai atau harga vektor, begitu juga sebaliknya), sedangkan pada arah anak panah akan menunjukkan arah vektor.

Untuk dapat lebih jelas tentang cara menggambarkan vektor, maka silahkan mari kita perhatikan contoh gambar vektor di bawah berikut ini:

1. (a) menunjukkan sebuah vektor gaya F dengan sebesar 5 N ke arah kanan
2. (b) menunjukkan sebuah vektor gaya F dengan sebesar 10 N ke arah kiri.

Cara Menuliskan Notasi Vektor

Penulisan simbol atau lambang vektor tersebut juga bisa dilakukan dengan 2 cara antara lain sebagai berikut:
1. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau dengan satu huruf namun di atasnya diberikan tanda anak panah, yaitu:



2. Vektor tersebut disimbolkan dengan dua huruf besar atau juga  satu huruf yang ditebalkan juga:

Jika kita menggunakan dua buah huruf, maka pada huruf pertama yang (A) adalah merupakan titik asal vektor, atau disebut juga dengan sebutan pangkal vektor. Huruf di belakang (B) adalah arah vektor atau titik terminal atau dapat disebut juga dengan sebutan ujung vektor.

Macam – Macam Vektor

Di dalam ilmu fisika, macam-macam vektor itu terdapat dua macam, yaitu: vektor sejajar atau serta juga vektor berlawanan. Untuk lebih jelas  mengenai kedua macam vektor tersebut, silakan kalian perhatikan gambar dibawah berikut ini:

1. Vektor Sejajar

Vektor sejajar adalah dua vektor atau lebih yang mempunyai arah serta juga besar yang sama. Pada gambar di atas, contoh dari vektor sejajar adalah pada vektor b dan c.

2. Vektor Berlawanan

Vektor berlawanan adalah dua atau lebih vektor yang mempunyai atau memiliki suatu besar yang sama namun arahnya yang berlawanan. Apabila dilihat pada gambar di atas, maka contoh vektor berlawanan adalah vektor c dan d.

Sifat-Sifat Vektor

Vektor memiliki sifat – sifat antara lain yaitu sebagai berikut :

• Bisa dipindahkan dengan syarat nilai atau besar serta arahnya itu tidak berubah
• Bisa dijumlahkan
• Bisa dikurangkan
• Bisa diuraikan
• Bisa dikalikan

Besar Vektor

Berdasarkan penjelasan diatas , kita akhirnya mengetahui bahwa selain memiliki arah, vektor tersebut juga memiliki besar yang dinyatakan yaitu sebagai besar vektor.

Besar vektor ini menyatakan nilai dari suatu vektor. Besar vektor dinyatakan dengan cara melalui simbol huruf yang ditulis miring tanpa ditebalkan serta juga tanpa tanda anak panah (→) pada atasnya, atau dituliskan dengan sebagai harga mutlak (| |) vektor tersebut.
Besar dari Vektor:

Maka, dengan berdasarkan definisinya, besar vektor yaitu besaran skalar serta nilainya itu selalu positif (+).

Penjumlahan Vektor 

Operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen – komponennya itu ialah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya, sederhanya berarti mencari resultan dari 2 vektor

• Vektor Segaris
  Vektor ini resultannya antara lain ialah : R = A + B + C + n dan seterusnya
• Vektor Tidak Segaris
  Apabila kita menemukan penjumlahan vektor tidak segaris seperti pada gambar dibawah berikut ini:
  
  
  
  namun, apabila kita menemukan soal penjumlahan vektor seperti pada gambar diatas , maka berikut ini adalah bentuk rumus dan penyelesaiannya yaitu:
  
  
  
  
  Menurut aturan cosinus dalam segitiga, dapat dijabarkan sebagai berikut:
  (OR) 2 : (OP) 2 + (PR) 2 – 2 (OP)(PR) cos (180o – α)
  (OR) 2 : (OP) 2 + (PR) 2 – 2 (OP)(PR) -(cos α)
  (OR) 2 : (OP) 2 + (PR )2 + 2 (OP)(PR) cos α
  Jika: OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR
  Maka: didapat persamaan
  R2 = A2 + B2 + 2AB cos α
  Rumus menghitung resultan vektornya adalah:
  R2 = A2 + B2 – 2AB cos α

Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor pada prinsipnya adalah sama dengan dengan penjumlahan vektor, namun yang membedakannya yaitu salah satu vektor yang mempunyai atau memiliki arah yang berlawanan.

Contoh Pengurangan Vektor:

Vektor A bergerak ke arah selatan dan B bergerak ke arah utara, maka resultannya yaitu: R = A + (-B) = A – B.

Perkalian Vektor

Operasi vektor tidak hanya mencakup operasi pengurangan maupun penjumlahan vektor saja. Tetapi adapula operasi perkalian vektor yang notabennya diajarkan di jenjang sekolah menengah. Untuk jenis operasi perkalian tersebut dapat dibagi menjadi tiga macam. Adapun macam macam perkalian vektor tersebut meliputi:

1.            Perkalian vektor dengan skalar.

2.            Perkalian silang atau cross product.

3.            Perkalian titik atau dot product.

Ketiga macam perkalian vektor tersebut mempunyai rumus, sifat dan aturannya masing masing. Untuk itu saya akan menjelaskan lebih lanjut mengenai masing masing jenis perkalian pada vektor tersebut. Berikut penjelasan selengkapnya:

Perkalian Vektor Dengan Skalar

Macam perkalian vektor yang pertama ialah perkalian antara vektor dengan skalar. Perkalian ini mencakup perpindahan pada sebuah benda. Misalnya Ani mengendarai mobil menuju arah barat dengan kecepatan 40 km/jam. Kemudian terjadi perpindahan antara Ani dengan mobil setelah beberapa waktu. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa perpindahan per selang waktu adalah kecepatan. Maka dari itu perpindahan yang terjadi pada Ani tersebut dapat dicari menggunakan persamaan atau rumus seperti di bawah ini:

 s = vt

Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)

Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu, sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:

 Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan vektor

Jika perkalian antara vektor dengan skalar dinyatakan dalam bentuk sederhana dan sistematis akan menghasilkan aturan atau rumus tertentu. Berikut rumus perkalian vektor dengan skalarnya yaitu:

 B = kA

Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)

Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu, sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:

 Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan vektor

Jika perkalian antara vektor dengan skalar dinyatakan dalam bentuk sederhana dan sistematis akan menghasilkan aturan atau rumus tertentu. Berikut rumus perkalian vektor dengan skalarnya yaitu:

 B = kA                                             

Keterangan :
B =  vektor B
k = skalar
A = vektor A

Rumus perkalian vektor di atas menghasilkan vektor B yang merupakan perkalian antara besar k dengan besar A. Jika k bernilai positif, maka vektor B memiliki arah yang sama dengan vektor A. Sedangkan jika k bernilai negatif, maka arah vektor B berlawanan dengan vektor A.

Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar
Rumus di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar, baik untuk tiga dimensi maupun dua dimensi. Jika dijabarkan lebih lanjut maka rumus perkalian antara vektor satuan dengan skalar akan menjadi seperti di bawah ini:

Rumus Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar

Sifat Perkalian Vektor Dengan Skalar
Sifat perkalian vektor dengan skalar ialah distributif. Jika dinyatakan dalam bentuk persamaan maka sifat distributifnya akan menjadi seperti berikut:

 k (A + B) = kA + kB

Contoh Soal Perkalian Vektor Dengan Skalar
Perhatikan gambar vektor A di bawah ini!

Apabila B = 1/2A, B = -1/2A, B = 2A, B = -2A. Buatlah gambar vektor B nya?

Jawab.
Untuk gambar perkalian vektor B = 1/2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = 1/2 A

Untuk gambar perkalian vektor B = -1/2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = -1/2A

Untuk gambar perkalian vektor B = 2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = 2A

Untuk gambar perkalian vektor B = -2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = -2A

Perkalian Titik atau Dot Product

Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian dot product atau titik. Untuk perkalian dot product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar Ilustrasi Perkalian Dot Product

Berdasarkan gambar di atas dapat kita peroleh vektor A sebagai hasil perkalian vektor dua buah titik diantara A dan B. Kemudian vektor B merupakan hasil perkalian antara komponen vektor B dengan vektor A yang arahnya sama. Adapula B cos α merupakan komponen dari vektor B yang arahnya sama dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian titik vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:

 A . B = AB cos α =  |A| |B| cos α

Keterangan:
A = |A| ialah besar vektor pada A
B = |B| ialah besar vektor pada B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰

Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang kedua yaitu perkalian titik ialah:

 Perkalian vektor antara dua buah titik menghasilkan skalar.

Perkalian titik dilambangkan dengan tanda titik atau dot product (.). Macam perkalian vektor ini menghasilkan skalar. Untuk itu perkalian titik juga dapat dinamakan dengan perkalian scalar product. Dalam perkalian ini terdapat beberapa hal penting yang harus diperhatikan seperti:

1. A . B = 0 → cos 90⁰ = 0, apabila vektor A tegak lurus dengan vektor B sehingga nilai α = 90⁰.
2. A . B = AB → cos 0⁰ = 1, apabila vektor A searah dengan vektor B sehingga nilai α = 0⁰.
3. A . B = -AB → cos 180⁰ = -1, apabila vektor A berlawanan arah dengan vektor B sehingga nilai α = 180⁰.

Perkalian Titik pada Vektor Satuan

Selanjutnya saya akan menjelaskan perkalian vektor tentang perkalian titik yang menggunakan vektor satuan. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar di bawah ini:

Ilustrasi Gambar Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Berdasarkan gambar perkalian vektor di atas dapat kita lihat bahwa terdapat tiga vektor yang saling tegak urus yaitu vektor dengan satuan i, j dan k. Maka dari itu nilai α memiliki besar 90⁰, dimana ketiga vektor memiliki nilai = 1. Kemudian perkalian titik yang menggunakan vektor satuan ini menghasilkan aturan seperti di bawah ini:

 Berhimpit maka i . i = j . j = k . k = 1 . 1 cos 0⁰ = 1
Tegak lurus maka i . j = i . k = j . k = 1 . 1 cos 90⁰ = 0

Berdasarkan perkalian titik menggunakan vektor satuan di atas menghasilkan persamaan di atas. Persamaan tersebut dapat digunakan untuk menghitung perkalian vektor kategori perkalian titik. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Penjabaran Perkalian Titik pada Vektor Satuan

Sifat Perkalian Titik
Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian titik tersebut ialah distributif dan komutatif. Adapun sifat distributif dan komutatif pada perkalian titik ialah:

 A (B + C) = A . B + A . C (Distributif)
A . B = B . A (Komutatif)

Contoh Soal Perkalian Titik
Vektor perpindahan memiliki persamaan yaitu s = (3i + 4j - 2k) dan persamaan vektor gayanya yaitu F = (i + 2j + 3k). Berapakah nilai usahanya?

Pembahasan
Diketahui : s = (3i + 4j - 2k); F = (i + 2j + 3k)
Ditanyakan : W = ?
Jawab :
W = F . s
     = (i + 2j + 3k) . (3i + 4j - 2k)
     = (1 . 3) + (2 . 4) + (3 . -2)
     = 3 + 8 - 6
     = 5 Joule
Jadi besar usahanya ialah 5 Joule.

Perkalian Silang Vektor atau Cross Product

Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian cross product atau silang. Untuk perkalian cross product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar Ilustrasi Perkalian Cross Product

Perkalian vektor antara vektor A dan B menggunakan metode silang dapat ditulis dengan A x B. Hal ini dapat menggambarkan antara vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B dimana letaknya tegak lurus dengan vektor A. Kemudian terdapat B sin α yang merupakan nilai tegak lurus antara komponen vektor B dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian silang vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:

 A x B = C
|A x B| = AB sin α

Keterangan :
|A x B| = hasil besar vektor dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
C = besar vektor lain dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰

Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang ketiga yaitu perkalian silang ialah:

 Perkalian vektor antara dua buah vektor menggunakan metode perkalian silang ialah suatu vektor pada bidang yang terbentuk oleh A dan B dengan arah yang tegak lurus.

Sifat Perkalian Silang

Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian silang tersebut ialah anti komutatif, asosiatif dan distributif. Adapun sifat anti komutatif, asosiatif dan distributif pada perkalian silang yaitu:

 A × B ≠ B × A (Anti Komutatif)
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB) (Asosiatif)
A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (Distributif)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C) (Distributif)

Rumus Cepat Vektor
Untuk dapat mengerjakan vektor dengan mudah serta juga cepat, maka berikut merupakan Rumus Cepatnya, yaitu:

Jika, α = 00 maka R = V1 + V2
Jika, α = 900 maka R = √(V12 + V22)
Jika, α = 1800 maka R = | V1 + V2 | –> nilai mutlak
Jika, α = 1200 dan V1 = V2 = V maka R = V

Daftar Pustaka
https://rumusbilangan.com/vektor/
https://rumus.co.id/vektor-matematika/
https://rumushitung.com/2014/11/08/perkalian-vektor-dan-contoh-soal/